Szabo_Granat_TDK_2021.Rmd

---
title: "Az európai hozamgörbék recesszió előrejelző képességének empirikus vizsgálata"
author: "Szabó Dorottya és Granát Marcell"
date: \today
output: 
  pdf_document: 
    fig_caption: yes
    toc: yes
    toc_depth: 4
header-includes:
- \usepackage{fancyhdr}
- \usepackage[hungarian]{babel}
- \usepackage{natbib}
- \pagestyle{fancy}
- \fancyhf{}
- \fancyhead[RE,LO]{\leftmark}
- \fancyfoot[C]{\thepage}
- \usepackage{lscape}
- \usepackage{pdfpages}
- \usepackage{titling}
- \pretitle{\begin{center}\LARGE\includegraphics[width=15cm]{corvinustdk.png}\\[\bigskipamount]}
- \posttitle{\end{center}}
---

\pagebreak

\renewcommand{\abstractname}{Absztrakt}

```{=tex}
\begin{abstract}

Számos okból kifolyólag az államkötvények hozamgörbéje a recessziók pontos előrejelzőjének bizonyul az USA-ban. Tanulmányunkban empirikusan vizsgáljuk meg, hogy az európai országok esetében is megfigyelhető-e ez az összefüggés. Az elemzési eszközök körébe tartozik a Hodrick-Prescott-filter, illetve a probit modell. A szakirodalomban megtalálható modellezési eljárást kívánjuk kiterjeszteni az optimális államkötvény lejárat párosítású szpred meghatározásával, és annak vizsgálatával, hogy eredményünk robosztusságot mutat-e az európai hozamgörbékre kiterjesztve is.
Kutatásunk fő eredményei közé tartozik, hogy az Egyesült Államok esetében legjobb előrejelzőnek a 7 és 1 éves lejáratú államkötvények hozamából számított szpred bizonyult a legjobb előrejelzőnek, amely hasonlóan jól prediktálja a gazdasági válságok megjelenését az európai országok esetében is.

\end{abstract}
```
```{=tex}
\listoftables
\listoffigures
```
\pagebreak

# Bevezetés

A hozamgörbék recesszió előrejelző képességét az 1980-as évek végén kezdték el vizsgálni [pl. Keen, 1989; Stevens, 1989] , a '90-es évek végére pedig komoly szakirodalma lett a témának. Ezek a tanulmányok azt vizsgálják, hogy a különböző lejáratú államkötvények hozamainak különbsége időben hogyan alakul, illetve hogy ez a különbség milyen kapcsolatban áll a reálgazdaság teljesítményével. Az empíria azt mutatja, hogy a gazdasági visszaeséseket a hozamgörbék invertálódása előzi meg, ami azt jelenti, hogy a rövid lejáratú állampapírok hozamai magasabbak, mint a hosszú lejáratú állampapíroké, tehát a hozamszpred negatív tartományba kerül. Ekkor tehát a befektetők a rövid távú befektetéseket kockázatosabbnak ítélik meg, mint a hosszú távú befektetéseket, ami ellent mond az általános gazdasági viselkedésnek. Két tipikus elemzés terjedt el: (1) a GDP növekedési rátájának kvantitatív előrejelzése folytonos modellekkel, (2) a recessziók valószínűségének előrejelzése bináris modellekkel. Estrella és szerzőtársai [2003] azt találják, hogy az utóbbi típusú elemzések jobban teljesítenek.

Estrella és Fishkin [1996] egy rövid tanulmányukban amellett érvelnek, hogy a hozamszpredek többek között azért is jó indikátorok, mivel a monetáris politikának erős hatása van rá, és így ezen keresztül a reálgazdaságot is képes lehet befolyásolni. Emellett a hozamszpredek tartalmazzák az inflációs és a kamatlábra vonatkozó várakozásokat is, amelynek szintén fontos szerepet tulajdonítanak a szerzők. Ugyanez a szerzőpáros [Estrella & Mishkin, 1998] egy hosszabb tanulmányukban pénzügyi indikátorok, köztük különböző kamatlábak, részvényárak, monetáris aggregátumok és a hozamszpred előrejelző képességét vizsgálták probit modellek segítségével. Azt találták, hogy míg 1-3 negyedéves időhorizonton a részvényárak és a monetáris aggregátumok egyaránt jól jeleznek előre a mintán kívül, addig az ennél távolibb időpontokra való előrejelzésben egyértelműen a hozamszpred emelkedik ki, és jellemzően önmagában, tehát minden más változó bevonása nélkül teljesít jól. Wright [2006] ezzel ellentétes következtetésre jut, tanulmányában megállapítja, hogy a hozamszpredek önmagukban kevésbé jól jeleznek előre recessziót, mint amikor a modell külön változóként a hozamokat is tartalmazza.

Érdekesség azonban, hogy az előbb idézett tanulmány alapján az utóbbi modellek 2006-ban nem jeleztek előre recessziót, míg a hozamszpredek önmagukban igen. Wright a többváltozós modellnek hitt, később kiderült, hogy tévedett. A 2007-2009-es válságot megelőzően a Federal Reserve egy másik elemzője, Haubrich [2005] is arra a végső következtetésre jut cikkében, hogy nem valószínű, hogy a csökkenő hozamszpredek recessziót jeleznek előre.

A Nagy Recessziót követő időszakban számos további tanulmány született a témában [pl. Rudebusch & Williams, 2009; Chinn & Kucko, 2010], 2017-től pedig ismét laposodott az amerikai hozamgörbe. Bauer és Mertens [2018a] tanulmányukban megállapítják, hogy a hozamszpred kritikus határértéke a 0, tehát egy 0-hoz közeli, de pozitív érték még nem ad okot aggodalomra, viszont a negatív hozamgörbe már vészjósló jelenség. A szerzőpáros amellett érvelt, hogy mivel a pénzügyi válság utáni időszakot amúgy is egy alacsony kamat- és hozamkörnyezet jellemezte, ami történelmi összehasonlításban is különös jelenség, nem vonható le messzemenő következtetés a hozamszpredek alakulása alapján.

2019 elején már sorra írták meg a különböző sajtóorgánumok is, köztük a Forbes, illetve a Bloomberg, hogy az amerikai hozamgörbe laposodik, és csak idő kérdése, hogy inverz hozamgörbéről beszéljünk, ami pedig egy közelgő recesszió gyanúját keltette a közgazdászokban. 2019 augusztusában az amerikai hosszú és rövid távú állampapírhozamok különbsége negatív értéket vett fel [FRED, 2021], a prognosztizált pénzügyi válság helyett azonban a koronavírus járvány következtében nézhettünk, illetve nézhetünk szembe egy komoly gazdasági visszaeséssel. Ez a jelenség sokféle spekulációnak és konspirációs elméletnek adott teret, és sok emberben felmerült a kérdés, hogy csupán egy véletlen egybeeséssel nézünk-e szembe.

Chauvet és Potter [2005] tanulmányukban a standard probit modell előrejelző képességét hasonlították össze szofisztikáltabb, kiterjesztett probit modellekével. Az utóbbiak jellemzően hatékonyabban jeleztek előre a mintán kívül, azonban egyedül a standard modell jósolt recessziót 2001 végére a 2001 márciusáig rendelkezésre álló információk alapján. A szerzők amellett érvelnek, hogy ez alapján téves lenne azt a következtetést levonni, miszerint a standard modell jobban teljesít, hiszen a modell rendelkezésére álló információk nem tartalmazták az év szeptember 11-i eseményeit, az Egyesült Államokat ért terrortámadást, ami pedig jelentősen hozzájárult a 2001-es gazdasági visszaeséshez. Nehéz lenne megmondani, hogy ez a kijelentésük magától értetődő-e, ahogy azt is, hogy a 2019-es hozamgörbék előrejelezhették-e egy világméretű egészségügyi járvány gazdasági hatásait, mindenesetre a hozamszpredek kérdése töretlen erővel nyújt ihletet a közgazdászoknak.

# Európai hozamgörbék

A hozamgörbék recesszió előrejelző képességének vizsgálatát az amerikai állampapírok ihlették, azonban több tanulmány szentel kitüntetett figyelmet a különböző lejáratú európai államkötvények hozamkülönbségének. Estrella és Mishkin [1996b; 1997] azt találják, hogy a német és a brit hozamszpredek meglehetősen jól teljesítenek a recessziók valószínűségének előrejelzésében -- Chinn és Kucko [2010] hasonló eredményre jutnak - , bár a brit hozamszpred esetében gyakori, hogy magas valószínűséget becsül a gazdasági visszaesésnek olyan időszakban, amikor nem következett be recesszió. Vizsgálták továbbá a francia és az olasz hozamgörbéket is, ezek azonban nem bizonyultak a recessziókat előrejelző indikátoroknak. Duarte és szerzőtársai [2005] az euróövezet aggregált adatait használták fel, és probit modellel sikeresen tudták előrejelezni az Európai Gazdasági és Monetáris Uniót érintő recessziókat.

Tanulmányunkban egyrészt az Egyesült Államok „mintapéldáját" elemezzük, másrészt különböző európai országok esetében vizsgáljuk meg a hozamszpredek recesszió előrejelző képességét az elmúlt 25 évre visszatekintően.

# Adatok, módszertan

A különböző lejáratú állampapírok hozamaira vonatkozó napi, illetve havi adatokat az investing.com oldaláról, illetve a FRED (2021a) adatbázisából töltöttük le, az egyes országok esetében különböző hosszúságú idősorokat tudtunk kinyerni az adatbázisból, illetve az adatok hiányossága is problémát jelentett. Mivel a modellben felhasznált hozamszpredet két hozam különbségeként definiáltuk, így csak azok az időpontbeli megfigyeléseinket tudtuk felhasználni az elemzéshez, amelyek esetében mindkét adott lejáratú állampapírra volt adatunk. A reál GDP negyedéves, szezonálisan kiigazított értékeit az Eurostat (2021), illetve a FRED (2021b) adatbázisaiból nyertük ki. A hozamszpredek esetében a napi megfigyelések mértani átlagaként definiáltunk negyedéves értékeket.

A szakirodalomban a közgazdászok különböző hozamszpredeket választanak meg. Vannak, akik a vizsgált államkötvény lejárati idejének különbségének maximalizálását javasolják [pl. Ang és szerzőtársai, 2006], vannak, akik a rövid és közép távú kötvények hozamszpredjeit részesítik előnyben [pl. Estrella és szerzőtársai, 2003], megint mások a standardnak mondható 10 éves és 3 hónapos kötvények hozamainak különbségére esküsznek, bár a vizsgált hozamszpredek jellemzően nagyon hasonló pályát követnek [Bauer & Mertens, 2018b]. Tanulmányunkban mi is több lehetséges kombinációt vizsgálunk meg a különböző országok esetében.

A tanulmányban probit modellt használunk az előrejelző képességek becslésére. A bináris eredményváltozót tartalmazó modellek alapvetően abban térnek el az OLS regresszióktól, hogy az eredményváltozó kétértékű, ami azt implikálja, hogy az Y-ra becsült érték, az előrejelzés tulajdonképpen egy csoportba sorolja az adott megfigyelést, klasszifikál. Az ilyen típusú eredményváltozók modellezésére leggyakrabban használt modellek a lineáris valószínűségi modellek (LPM), a logisztikus és probit modellek. Ezek közül az LPM a legkönnyebben kezelhető modell, azonban jelentős hátránya, hogy az előrejelzési valószínűségek kívül eshetnek a [0,1] intervallumon, illetve az ebben a modellkeretben számított parciális hatások olykor logikailag lehetetlenek [Wooldridge, 2012]. A logit regresszió alapgondolata, hogy bár a lineáris kombinációt megtartjuk, de annak az eredményét egy olyan függvényen eresztjük át, mely a ($-\propto$, $\propto$) intervallumot [0,1]-re képzi le [Ferenci, 2021].

A probit modell egy ponton tér el alapvetően a logisztikus analízistől. A logittal szemben a probit a P valószínűség logisztikus eloszlásának feltételezése helyett standard normális eloszlásúnak feltételezi a valószínűség eloszlását. Ennek az eloszlásfüggvénynek azonban nincs zárt alakja, így a logit alkalmazása lényegesen egyszerűbb és elterjedtebb is. A probit modellünk ezek alapján a következőképp írható fel:

```{=tex}
\begin{align}
E(Y\mid X)=P(Y=1\mid X)=\phi(\beta_0+\beta_{szpred}),
\end{align}
```
ahol $\phi(z)=P(Z<z)$, $Z \sim N(0,1)$.

A recessziókat reál GDP adatok Hodrick-Prescott-filterezésének segítségével definiáltuk az európai országok esetében, míg az Egyesült Államok esetében az NBER (2021) adatbázisa alapján határoztuk meg azokat. A HP-szűrő formálisan a következőképp írható fel:

```{=tex}
\begin{align}
\min _{\tau}\left(\sum_{t=1}^{T}\left(y_{t}-\tau_{t}\right)^{2}+\lambda \sum_{t=2}^{T-1}\left[\left(\tau_{t+1}-\tau_{t}\right)-\left(\tau_{t}-\tau_{t-1}\right)\right]^{2}\right),
\end{align}
```

ahol az első tag azt fejezi ki, mennyire követi jól az idősort a trend, míg a második azt, mennyire simán követi azt le. A lambda együttható határozza meg a kettő közti trade-offot, ezt a szakirodalomban használtaknak megfelelően 1600-nak választottuk meg a negyedéves adatok miatt. A HP-filterezés után megkaptuk a reál GDP ciklikus komponenseit, amelyek a trendtől vett eltérést mutatják. Recesszióként definiáljuk a tanulmányban azokat az időszakokat, amiket a reál GDP negatív ciklikus komponense jellemez.

Tanulmányunkban kiindulópontként az USA esetében vizsgáljuk meg, hogy az Estrella és Mishkin [1996b] által levont következtetések az azóta eltelt 25 évre is implikálhatók-e. Ehhez -- az említett szerzőpárostól eltérően, akik a 10 éves és 3 hónapos lejárat melletti állampapírhozamokat használták fel -- az általunk hozzáférhető 10 éves és 1 éves lejáratú állampapírhozamok különbségét használtuk fel a modelljeinkben két különböző intervallumon, négy negyedéves késleltetéssel. Reprodukálva az említett tanulmányt a korábbi időszakunk 1962 első negyedévétől 1995 első negyedévéig tart, míg a második 1995 második negyedévétől kezdődik és napjainkig tart. A két időszakban megfigyelhető előrejelző képesség alapján vonunk le következtetéseket az 1996-ös megállapítások mai érvényességével kapcsolatban.

Ezek után azt vizsgáljuk meg, hogy a használt 10 és 1 éves lejarát bizonyul-e a legjobb lejárat-kombinációnak az előrejelzési képesség szempontjából. Ezt követően pedig a vizsgálatunkat kiterjesztjük különböző európai országokra, melyek esetében a leghatékonyabban előrejelző lejárat-kombinációkat alkalmazzuk.

# Eredmények

## Eredmények az Egyesült Államok adatai alapján

Az Egyesült Államok esetében először az 10 éves lejáratú állampapírhozamok és az 1 éves lejáratú állampapírhozamok különbségének alakulását vetettük össze az NBER által recesszióknak definiált időszakok alakulásával. Az 1. ábrán látható a havi, illetve napi hozamszpredek alakulása, az előbbiek esetében 1953 áprilisától kezdődő, az utóbbiak esetében pedig 1962 januárjától kezdődő és mindkét esetben 2021 márciusáig terjedő időintervallumon. Fontos kiemelni, hogy tanulmányunkban a későbbi lejáratú hozamokból vontuk ki a korábbit, bár a szakirodalomban ritkán, de előfordul, hogy a különbséget a „rövid-hosszú" formában definiálják. A mi eljárásunkból az következik, hogy az ábrán azok az időpontok jelzik a hozamgörbék invertálódását, ahol a hozamszpred a negatív tartományba esik.

```{r setup, include=FALSE, warning=F}
knitr::opts_chunk$set(echo = F, comment = "", warning = F, message = F, cache = T, dev = "cairo_pdf", error = T, fig.align = 'center')
```

```{r packages}
# Set up --------------------------------------------------------------------------------

## Packages =============================================================================

library(tidyverse)
library(patchwork)
library(knitr)
library(ggthemes)
load("C:/school/szem_8/TDK-yieldcurve/yieldcurve/dat.RData") 
# find the cleaning process in data_cleaning.R

## Gg theme =============================================================================

update_geom_defaults("point", list(fill = "#595959", 
                                   shape = 21, 
                                   color = "black", 
                                   size = 1.4))
update_geom_defaults("line",
                     list(color = "#E3120B", size = .9))

update_geom_defaults("smooth", list(color = "red4", size = .9))

update_geom_defaults("density",
                     list(color = "#B6B6B6", fill =  "#B6B6B6",
                          alpha = .3, size = 1.4))

extrafont::loadfonts(device="win")

theme_set(
  theme_economist_white(gray_bg = F) + theme(
    axis.ticks.length = unit(5, "points"),
    axis.ticks.y  = element_line(colour = "gray", size=1.1),
    axis.ticks.length.y = unit(.3, "cm"),
    panel.grid.major = element_blank(),
    plot.title = element_text(margin = margin(t = 0, r = 0, b = 10, l = 0)),
    axis.title = element_text(margin = margin(t = 10, r = 10, b = 0, l = 0)),
    legend.position = 'bottom'
  )
)

```

```{r scrape_nber}
library(rvest)
dat_NBER <- read_html(
  'https://www.nber.org/research/data/us-business-cycle-expansions-and-contractions') %>% 
  html_table(fill = T) %>% 
  .[[1]] %>%
  janitor::clean_names() %>% 
  tibble() %>% 
  {
    df <- .
    df[-1, ] %>%
      set_names(as.character(df[1,]))
  } %>% 
  janitor::clean_names() %>% 
  transmute(
    start = lubridate::ym(paste(peak_year, peak_month)),
    end = lubridate::ym(paste(trough_year, trough_month))
  ) %>% 
  na.omit() %>% 
  apply(1, function(x) {
    seq.Date(from = lubridate::ymd(x[1]), to = lubridate::ymd(x[2]), by = "month")
  }) %>% 
  reduce(c) %>% 
  {tibble(date = lubridate::ymd(.))}

```

```{r fig.cap= 'Az 10 és 1 éves hozamszpread és a recessziók közötti együttmozgás az USA-ban', fig.height=3}
dat_US_yield %>% 
  transmute(
    date,
    napi = DGS10 - DGS1,
    havi = GS10 - GS1
  ) %>% 
  pivot_longer(-1) %>% 
  na.omit() %>% 
  ggplot(aes(date, value, color = name)) +
  geom_hline(yintercept = 0, color = '#D7D7D7') +
  geom_vline(data = dat_NBER, mapping = aes(xintercept = dat_NBER$date, 
                                            linetype = 'Recesszió'),
             color = '#EBE9E0'
  ) + 
  geom_line() + 
  scale_color_discrete(direction =-1) +
  labs(x = NULL, y = 'Szpread', color = NULL, linetype = NULL)

```

Az ábrán jól látható, hogy a recessziókat megelőzően jellemzően 1-2 éves időtávon belül a hozamgörbék invertálódtak, tehát a rövid távú befektetések hozama magasabb volt, mivel a befektetők kockázatosabbnak ítélték meg ezeket az állampapírokat, mint a hosszú lejáratúakat. Ez azzal magyarázható, hogy a befektetők egy közelgő recessziótól tartottak ezekben az időszakokban, és az ábra alapján azt mondhatjuk, hogy ezek a várakozások jellemzően beigazolódtak. Továbbá az ábráról az is leolvasható, hogy a recessziós időszakok közben, néhány esetben már a recesszió kezdete előtt növekednek a hozamszpredek.

Az alkalmazott probit modellt először az Egyesült Államok adatain futtattuk le a 10 éves és 1 éves lejárat különbségeként definiált hozamszpreddel magyarázva a recesszió valószínűségét négy negyedéves késleltetés mellett. Az 1. táblázat különböző hozamszpred értékek mellett mutatja a recesszió modell szerinti valószínűségét az 1995 előtti időszakra, az 1995 utáni időszakra, illetve a teljes időszakra egyaránt. Jól látható, hogy a hozamszpred csökkenésével egyértelműen nő a recesszió valószínűsége négy negyedéves időtávon.

```{r}
dat_NBER %>% 
  mutate(recession = T) %>% 
  merge(dat_US_yield, all.y = T) %>% 
  mutate(recession = ifelse(is.na(recession), F, T)) %>% 
  mutate(
    date = lubridate::yq(paste0(str_sub(as.character(date), end = 4), 'Q', 
                                ((as.numeric(str_sub(as.character(date), start = 6,
                                                     end = 7)) -1) %/% 3 + 1)))
  ) %>% 
  group_by(date) %>% 
  summarise(recession = sum(recession), GS1 = mean(GS1, na.rm = T), 
            GS10 = mean(GS10, na.rm = T)) %>% 
  ungroup() %>% 
  mutate(
    recession = ifelse(recession > 0, T, F),
    spread = GS10 - GS1,
    spread = lag(spread, 4),
    date_interval = ifelse(date < lubridate::ymd('1995-04-01'), '95 előtt', '95 után')
  ) %>% 
  {rbind(., mutate(., date_interval = 'teljes'))} %>% 
  group_by(date_interval) %>% 
  group_map(~ .x) %>% 
  lapply(function(x) {
    glm(data = x, formula = recession~spread,
        family = binomial(link = "probit")) %>% 
      broom::augment(newdata = tibble(spread = c(1.21, 0.76, 0.46, 0.22, 0.02, -0.17,
                                                 -0.5, -0.82, -1.13, -1.46, -1.85, -2.4)),
                     type.predict = "response") %>% 
      select(.fitted)
  }) %>% 
  reduce(cbind) %>% 
  set_names('95 előtt', '95 után', 'Teljes időszak') %>% 
  mutate(
    Szpread = c(1.21, 0.76, 0.46, 0.22, 0.02, -0.17,
                -0.5, -0.82, -1.13, -1.46, -1.85, -2.4)/100
  ) %>% 
  select(Szpread, everything()) %>% 
  mutate_all(function(x) scales::percent(x, accuracy = .01, decimal.mark = ',')) %>% 
  knitr::kable(caption = paste0(
    'Recesszió valószínűsége különböző hozamszpreadek mellett a ',
    'négy negyedéves késletéssel készített logit modell alapján'
  ), align = c('c', 'c', 'c', 'c'))

```

Az 1995 előtt időszak eredményeit összevetve Estrella és Fishkin [1996b] eredményeivel azt láttuk, hogy az adott hozamszpredekhez tartozó valószínűségek a mi számításaink alapján magasabbak, a különbség azonban egyetlen esetben lépi át a 10 százalékpontot, -1,13%-os hozamszpred mellett a mi modellünk 70,70%-os valószínűséggel jelez előre recessziót, míg a hivatkozott tanulmányban ez a valószínűség 60%-os. Összehasonlítva ezeket az eredményeket az 1995 utáni időszak eredményeivel azt láthatjuk, hogy a -0,5%-os értékig a különböző hozamszpredek szerint nagyobb a valószínűsége a recessziónak, azonban ezen érték alatt az egyes hozamszpredek kisebb valószínűséget társítanak a recesszióhoz, mint az 1995 előtti megfelelőik. Bauer és Mertens [2018a] azon megállapítása alapján, hogy a hozamszpredek alakulása csupán akkor ad okot az aggodalomra, ha az negatív tartományba esik, arra a következtetésre jutottunk, hogy a hozamszpredek előrejelző képessége az 1995 utáni időszakban kis mértékben csökkent az azt megelőző időszakhoz képest. A teljes időszakhoz tartozó eredmények is azt mutatják, hogy a negatív hozamszpredek a modell szerint jellemzően kisebb valószínűséggel jeleznek előre recessziót, mint csupán a '95 előtti megfigyelések alapján.

\pagebreak

### A modell klasszifikációs képessége

Bináris modellek klasszifikációs feladatának esetében a modell előrejelző képességének jóságára alapvető mérőszámok a szenzitivitás és a specificitás, illetve az ezek segítségével számított AUC (Area Under the Curve) mérőszám, amit a ROC (Receiver Operating Characteristics) görbe alatti terület nagyságaként definiálhatunk. A modell szenzitivitásának értékét a helyesen klasszifikált 1-ek (esetünkben recesszió bekövetkezése) összes 1-hez viszonyított aránya adja meg. Formálisan ez a következőképp írható fel:

```{=tex}
\begin{align}
\text{Szenzitivitás}=\frac{TP}{TP+FN},
\end{align}
```
ahol TP (True Positive) jelen esetben azoknak a klasszifikációknak a számára utal, amikor a modell a valósághoz hűen jelzett előre recessziót, FN (False Negative) pedig azokat az eseteket takarja, amikor a modell tévesen nem jelzett előre recessziót.

A specificitás ezzel szemben a helyesen klasszifikált 0-k összes 0-hoz viszonyított arányát adja meg, mely formálisan:

```{=tex}
\begin{align}
\text{Specificitás}=\frac{TN}{TN+FP},
\end{align}
```
ahol TN (True Negative) itt azokat a klasszifikációkat foglalja magában, melyek esetében a modell a valósághoz hűen nem jelzett előre recessziót, FP (False Positive) pedig azokat az eseteket, amikor a modell tévesen jelzett előre recessziót.

A ROC görbét egy olyan koordinátarendszerben tudjuk ábrázolni, melynek y tengelyén a szenzitivitás különböző értékeit, míg az x tengelyen az 1-specicitás különböző értékeit jelenítjük meg 0 és 1 között. A modellünk alapján kirajzolható ROC görbét a 2. ábra mutatja.

```{r USA_1_10_roc, fig.width=3.5, fig.height=3.4, fig.cap='Az 10 és 1 éves hozamszpread alapján készített probit-modell ROC görbéje'}
USA_1_10_roc <- dat_NBER %>% 
  mutate(recession = T) %>% 
  merge(dat_US_yield, all.y = T) %>% 
  mutate(recession = ifelse(is.na(recession), F, T)) %>% 
  mutate(
    date = lubridate::yq(paste0(str_sub(as.character(date), end = 4), 'Q', 
                                ((as.numeric(str_sub(as.character(date), start = 6, 
                                                     end = 7)) -1) %/% 3 + 1)))
  ) %>% 
  group_by(date) %>% 
  summarise(recession = sum(recession), GS1 = mean(GS1, na.rm = T), 
            GS10 = mean(GS10, na.rm = T)) %>% 
  ungroup() %>% 
  mutate(
    recession = ifelse(recession > 0, T, F),
    spread = GS10 - GS1,
    spread = lag(spread, 4)
  ) %>% 
  glm(formula = recession ~ spread,
      family = binomial(link = "probit")) %>% 
  broom::augment(type.predict = "response") %>% 
  {pROC::roc(.$recession, .$.fitted)}

USA_1_10_roc %>% 
  {tibble(spec = .$specificities, sens = .$sensitivities)} %>% 
  arrange(spec, sens) %>% 
  ggplot(aes(x=1-spec, y=sens)) +
  geom_ribbon(aes(ymin = 0, ymax = sens), color = '#E3120B', fill = '#E3120B',
              alpha = .3) +
  geom_line() +
  scale_color_viridis_d() +
  geom_abline(slope = 1, linetype = 2, color = '#595959') +
  ggtext::geom_textbox(
    aes(x = .6, y = .1),
    label = paste('Görbe alatti terület (AUC) =',format(as.numeric(USA_1_10_roc$auc),
                                                        digits = 2)),
    size = 3, show.legend = F, color = '#121212',
    fill = "cornsilk", box.color = "black", width = unit(5, 'cm'), 
    box.padding = unit(.04, 'cm')
  ) + 
  scale_x_continuous(expand = c(0,0)) +
  scale_y_continuous(expand = c(0,0)) +
  theme_bw() +
  labs(x = '1 - Specificitás', y = 'Szenzitivitás')

```

A ROC görbe alatti terület nagysága alapján az AUC (Area under the ROC Curve) mérőszámra 0,87-es értéket kaptunk. Mivel a vizsgált modell klasszifikációs képessége annál jobb, minél közelebb esik az 1-hez az AUC, ezért esetünkben megállapítható, hogy az a modell, melyben a hozamszpredet a 10 éves és 1 éves lejáratú állampapírhozamok különbségeként definiáltuk, többnyire sikeresen jelez előre.

### A különböző lejárat-kombinációk összehasonlítása

Ahogy azt korábban említettük, a szakirodalomban nincs teljes konszenzus arra vonatkozón, hogy melyik lejárat-kombináció jelzi előre a recessziókat a legsikeresebben. Tanulmányunkban megvizsgáltuk, hogy a különböző kombinációkhoz milyen AUC érték tartozik. A kapott eredményeket a 3. ábra mutatja.

```{r fig.cap='Különböző hozamszpreadek recesszió előrejelző képességének vizsgálata az USA esetében'}
dat_NBER %>% 
  mutate(recession = T) %>% 
  merge(dat_US_yield, all.y = T) %>% 
  mutate(recession = ifelse(is.na(recession), F, T)) %>% 
  mutate(
    date = lubridate::yq(paste0(str_sub(as.character(date), end = 4), 'Q', 
                                ((as.numeric(str_sub(as.character(date), start = 6, 
                                                     end = 7)) -1) %/% 3 + 1)))
  ) %>% 
  group_by(date) %>% 
  summarise_all(.funs = function(x) mean(x, na.rm = T)) %>% 
  ungroup() %>% 
  mutate(
    recession = ifelse(recession > 0, T, F)
  ) %>% 
  mutate_at(-c(1:2), function(x) lag(x)) %>% 
  select(-GS10, -GS1) %>% 
  {
    combinations <- expand.grid(short = names(.)[-c(1, 2)], long = names(.)[-c(1, 2)], 
                                stringsAsFactors = F) %>%
      mutate_all(.funs = function(x) {
        ifelse(str_detect(x, 'M'), paste(str_remove_all(x, '\\D'), 'M'),
               paste(str_remove_all(x, '\\D'), 'Y')) %>%
          factor(levels = c(paste(1:12, 'M'), paste(1:50, 'Y')), ordered = T)
      }) %>% 
      filter(long > short)
    
    apply(combinations, 1, function(x) {
      df <- rename_at(., -c(1:2), .funs = 
                        function(x) ifelse(str_detect(x, 'M'), 
                                           paste(str_remove_all(x, '\\D'), 'M'),
                                           paste(str_remove_all(x, '\\D'), 'Y'))) %>% 
        select(date, recession, x[1], x[2]) %>% 
        na.omit() %>%  
        mutate(spread = long - short)
      auc <- glm(data = df, formula = recession~spread,
                 family = binomial(link = "probit")) %>% 
        broom::augment(type.predict = "response") %>% 
        {pROC::roc(.$recession, .$.fitted)} %>% 
        .$auc
      tibble(short = x[1], long = x[2], n = nrow(df), auc = as.numeric(auc))
    })
  } %>% 
  reduce(rbind) %>% 
  mutate_at(1:2, .funs = function(x) {
    ifelse(str_detect(x, 'M'), paste(str_remove_all(x, '\\D'), 'M'),
           paste(str_remove_all(x, '\\D'), 'Y')) %>%
      factor(levels = c(paste(1:12, 'M'), paste(1:50, 'Y')), ordered = T)
  }) %>% 
  ggplot() +
  geom_tile(aes(short, long, fill = auc), color = 'black') + 
  geom_text(aes(short, long, label = n, color = 'Megfigyelések száma')) +
  scale_fill_viridis_c(direction = -1, guide = guide_colorbar(
    frame.colour = 'black',
    ticks.colour = 'black')) +
  scale_color_manual(values = c('red')) + 
  guides(
    color = guide_legend(
      override.aes = aes(label = "78")
    )
  ) +
  labs(fill = 'AUC', x = 'Rövid távú államkötvény lejárata',
       y = 'Hosszú távú államkötvény lejárata', color = NULL)

```

A megfigyelések száma értelemszerűen attól függött, hogy hány esetben fértünk hozzá a kombináció mindkét lejáratkonstrukciójának adataihoz, így viszonylag nagy a szórása a megfigyelések számának.

Az ábra lényegi mondanivalója azonban az, hogy az AUC mérőszám nem a kiinduló modellünk esetében veszi fel a legmagasabb értékét, hanem a 7 éves és 1 éves lejáratú állampapírok különbségének esetében. Ez azért is érdekes, mert ezt a kombinációt egyik általunk olvasott szakirodalom sem ajánlja, bár jóindulattal nevezhető a 7 éves időtáv közép távnak, ekkor pedig egybecseng az eredményünk Estrella és szerzőtársai [2003] eredményével. A sokszor használt 10 éves és 3 hónapos kombináció a mi eredményeink szerint egy sokadik legjobb megoldás, azonban a rövid lejáratok kombinációinak jó teljesítménye összhangban van azokkal az állításokkal, miszerint a hozamgörbék előrejelző képessége elsősorban a rövid távú hozamok változásától függ. Továbbá megállapítható az is, hogy az 1 éves rövid lejárat minden általunk vizsgált hosszú lejárat mellett jól teljesít, így ennek az állampapír hozamának kiemelt szerepet tulajdoníthatunk a recessziók előrejelzésében.

### A recessziós időszakok definiálása a GDP ciklikus komponenseinek segítségével

Ahhoz, hogy a modellünk kiterjeszthető legyen európai országokra is, meg kellett határoznunk azt, hogy a GDP ciklikus komponensének milyen küszöbértéke mellett beszélhetünk recesszióról, mivel ezen térség esetében nem állt rendelkezésünkre az NBER-hez hasonló besorolás.

Az Egyesült Államok adatain vizsgáltuk meg, hogy a GDP Hodrick-Prescott szűrő segítségével előállított ciklikus komponense miként tudja reprodukálni az NBER által definiált recessziókat.

```{r hp_filter}
dat_gdp <- dat_gdp %>% 
  arrange(date) %>% 
  group_by(country) %>% 
  group_modify(~ mutate(.x, 
                        trend = mFilter::hpfilter(values, freq = 1600)$trend[,1],
                        cycle = mFilter::hpfilter(values, freq = 1600)$cycle))

```

```{r fig.height=2.5, fig.cap = 'Optimális küszöbérték megállapítása recesszió klasszifikációjához az USA-ban'}
tune_nber_df <- dat_gdp %>% 
  filter(country == 'US') %>% 
  mutate(cycle = (cycle + trend)/trend - 1) %>% 
  merge(mutate(dat_NBER, nber = T), all.x = T) %>% 
  mutate(nber = ifelse(is.na(nber), F, T)) %>% 
  select(cycle, nber) %>% 
  {pROC::roc(.$nber, .$cycle)} %>% 
  {tibble(threshold = .$thresholds, spec = .$specificities, sens = .$sensitivities)} %>% 
  mutate(total = spec + sens) 

tune_nber_df %>% 
  pivot_longer(-1) %>% 
  mutate(ymin = ifelse(name == 'total', 1, 0)) %>% 
  mutate(value = ifelse(name == 'total' & value < 1, 1, value)) %>% 
  filter(threshold != Inf & threshold != -Inf) %>% 
  ggplot(aes(threshold, value, color = name, fill = name)) +
  scale_x_continuous(expand = c(0, 0)) +
  geom_ribbon(aes(ymin = ymin, ymax = value), show.legend = F) +
  geom_blank(data = 
               data.frame(name = c('spec','spec', 'sens','sens', 'total', 'total'), 
                          value = c(0, 1, 0, 1, 1, 1.4), 
                          threshold = rep(0, 6))) +
  scale_y_continuous(expand = c(0, 0)) +
  facet_wrap(~ name, nrow = 1, scales = 'free_y',
             labeller = as_labeller(c('spec' = 'Specificitás',
                                      'sens' = 'Szenzitivitás',
                                      'total' = 'Specificitás + Szenzitivitás'
             ))) + 
  theme_bw() + 
  scale_fill_economist() +
  scale_color_economist() +
  labs(x = 'Küszöbérték', y = NULL) +
  geom_vline(data = data.frame(name = 'total', 
                               threshold = tune_nber_df$threshold[tune_nber_df$total == 
                                                        max(tune_nber_df$total)]), 
             aes(xintercept = threshold), linetype = 3, color = '#E3120B', size = 1.4) +
  ggtext::geom_textbox(
    data = tibble(threshold = -.03, value = 1.3, name = 'total'),
    label = paste0('A specificitás és szenzitivitás összegét a ',
                   scales::percent( 
                     tune_nber_df$threshold[tune_nber_df$total == 
                                              max(tune_nber_df$total)],
                     accuracy = .01, decimal.mark = ','),
                   '-os küszöbérték mellett maximalizáljuk.'),
    size = 2.1, show.legend = F, color = '#121212',
    fill = "cornsilk", box.color = "black", width = unit(3, 'cm'), 
    box.padding = unit(.04, 'cm')
  )

```

A kapott eredmények alapján megállapítható, hogy a GDP ciklikus komponensének -0,46%-os értéke határozható meg küszöbértékként. Ennek értelmében a reál GDP HP-filterezéséből nyert adatok alapján az európai országok esetében azokat az időszakokat tudjuk recesszióként definiálni, melyek során a ciklikus komponens -0,46% vagy annál kisebb értéket vett fel.

## A modell kiterjesztése európai országokra

Az Egyesült Államok adatai alapján kapott eredmények alapján végeztük el a modell kiterjesztését európai országokra, tehát a 7 éves és 1 éves hozamok különbségét használtuk fel ugyanabban a modellben, amit az előzőkben használtunk, illetve a recessziókat a GDP ciklikus komponensének -0,46%-os küszöbértéke alapján definiáltuk. Az adatbázisunk tartalmazza Ausztria, Belgium, Bulgária, Svájc, Ciprus, Csehország, Németország, Spanyolország, Franciaország, Nagy-Britannia, Horvátország, Magyarország, Írország, Málta, Hollandia, Lengyelország, Portugália, Románia, Szerbia, Szlovénia, és Szlovákia különböző lejáratú állampapírjainak hozamait. A megfigyelések számait az országok és a lejáratok függvényében az 5. ábra mutatja.

Jól látszik, hogy több ország esetében is problémát okoz az adathiány, emiatt a kiterjesztést csak bizonyos országok körében végeztük el, ezek a következők: Ausztria, Belgium, Svájc, Németország, Spanyolország, Franciaország, Nagy-Britannia, Olaszország, illetve Portugália. Miután a kiterjesztést leszűkítettük a felsorolt országokra, lefuttatuk ezen országok adatain is a probit modellt, melyben a magyarázóváltozóként használt hozamszprednek a 7 éves és 1 éves lejáratú állampapírhozamok különségét választottuk a korábbi erdményeink alapján. 

A 6. ábra felső panelje azt mutatja meg, hogy a különböző hozamszpred értékek mellett a modell alapján mekkora a valószínűsége egy négy negyedévvel késleltetett recessziónak. Jól látható, hogy a kirajzolt görbe egyedül Ausztria esetében negatív meredekségű, ami az előzetes várakozásoknak ellentmondó kapcsolatra utal a hozamszpred és a recesszió valószínűsége között. Fontos azonban kiemelnünk, hogy az itt vizsgált országok körében Ausztria esetében rendelkeztünk a legkevesebb megfigyeléssel, ami nagyban hozzájárulhat ehhez az eredményhez.

```{r fig.cap = 'Megfigyelések száma országonként', fig.height=8}
dat_yields %>% 
  group_by(country, maturity) %>% 
  summarise(n = n()) %>% 
  ungroup() %>% 
  pivot_wider(names_from = maturity, values_fill = 0, values_from = n) %>% 
  pivot_longer(-1, names_to = 'maturity', values_to = 'n') %>% 
  mutate(maturity = factor(maturity, levels = c(paste(1:12, 'M'), paste(1:50, 'Y')), 
                           ordered = T)) %>% 
  ggplot(aes(maturity, country, fill = n)) +
  geom_tile(color = '#121212') + 
  scale_x_discrete(labels = function(x) ifelse(x %in% c('1 M', '9 M', '1 Y', '50 Y'), x,
                                               str_remove_all(x, '\\D'))) +
  scale_fill_viridis_b(breaks = 1:4*2000, labels = paste(1:4*2, 'k')) + 
  theme(legend.key.width = unit(1, 'cm'), axis.text.x = element_text(size = 8)) +
  labs(y = NULL, x = 'Lejárat', fill = 'Megfigyelések száma (nap)')

```

```{r}
dat_parsed <- pivot_longer(dat_US_yield, -1) %>% 
  filter(str_detect(name, 'DGS')) %>% 
  transmute(date, country = 'US',
            maturity = ifelse(str_detect(name, 'M'), 
                              paste(str_remove_all(name, '\\D'), 'M'),
                              paste(str_remove_all(name, '\\D'), 'Y')) %>%
              factor(levels = c(paste(1:12, 'M'), paste(1:50, 'Y')), ordered = T),
            value = value
  ) %>% 
  rbind(
    dat_yields %>% 
      select(date, country, maturity, value = price) %>% 
      mutate(
        maturity = ifelse(str_detect(maturity, 'M'), 
                          paste(str_remove_all(maturity, '\\D'), 'M'),
                          paste(str_remove_all(maturity, '\\D'), 'Y')) %>%
          factor(levels = c(paste(1:12, 'M'), paste(1:50, 'Y')), ordered = T)
      )
  ) %>% 
    mutate(
    date = lubridate::yq(paste0(str_sub(as.character(date), end = 4), 'Q', 
                                ((as.numeric(str_sub(as.character(date), start = 6,
                                                     end = 7)) -1) %/% 3 + 1)))
  ) %>% 
  group_by(date, country, maturity) %>% 
  summarise(value = mean(value, na.rm = T)) %>% 
  ungroup() %>% 
  mutate(
    maturity = as.character(maturity),
    maturity = paste0(str_remove_all(maturity, '\\d'), 
                      str_remove_all(maturity, '\\D')) %>% 
      trimws()
  ) %>% 
  pivot_wider(names_from = maturity, values_from = value) %>% 
  merge(dat_gdp) %>% 
  mutate(
    cycle = (cycle + trend) / trend -1,
    recession = ifelse(cycle < -.0046, T, F)
    )
```

```{r}
eu_mods <- dat_parsed %>% 
  filter(country %in% c('US', 'PT', 'NL', 'IT', 'GB', 'FR', 'ES', 'DE', 'CH', 
                        'BE', 'AT')) %>% 
  {rbind(rbind(., mutate(., country = 'total')), mutate(filter(., country != 'US'), 
                                                        country = 'EU'))} %>% 
  mutate(
    spread = Y7 - Y1,
    recession = factor(recession)
    ) %>% 
  select(date, country, spread, recession) %>% 
  na.omit() %>% 
  group_by(country) %>% 
  group_map(
   ~ glm(formula = recession~spread,
        family = binomial(link = "probit"), data = .x) %>%
     {list(model = ., country = .x$country[1])}, .keep = T
  )

```

```{r}
mod_output <- lapply(eu_mods, function(x) {
  mod_augment <- x$model %>%
  broom::augment(type.predict = "response")
 mod_augment$auc <- mod_augment %>% 
  {pROC::roc(.$recession, .$.fitted)} %>% 
  .$auc %>% 
  as.numeric()
 mod_augment$country <- x$country
 mod_augment
}) %>% 
  reduce(rbind) %>% 
  mutate(country = case_when(
    country == 'total' ~ 'Összes megfigyelés',
    country == 'EU' ~ 'Összes európai megfigyelés',
    T ~ country
  ),
  country = factor(country, levels = c('Összes megfigyelés', 'Összes európai megfigyelés',
                                       'AT', 'BE', 'CH', 'DE', 'ES', 'FR', 'GB', 'IT',
                                       'NL', 'PT', 'US')
                                       , ordered = T)
  )
```

```{r}
mod_output_labels <- tibble(
  country = c("AT", "BE", "CH", "DE", "ES", "FR", "GB", "IT", "PT",
              "US", 'Összes európai megfigyelés', 'Összes megfigyelés'),
  point = c(1,1,1,1,1,100,50,50,100,1,660,870)
) %>% 
  left_join(mod_output) %>% 
  arrange(spread) %>% 
  group_by(country) %>% 
  group_modify(~ filter(.x, row_number() == point))
```


```{r fig.cap = 'Hozamszpred alapján recesszió előrejelzése az Európai országokra', fig.height=8}
p <- ggplot(mod_output) +
  geom_vline(xintercept = 0, linetype = 2, color = '#595959') +
  geom_line(aes(spread, .fitted, color = country), size = 1.4, show.legend = F) + 
  labs(x = 'Szpred', y = 'Recesszió becsült valószínűsége') +
  scale_color_viridis_d() +
  scale_y_continuous(labels = scales::percent) + 
  scale_x_continuous(expand = c(.4, .4)) +
  theme_grey()

ggpubr::ggarrange(
# directlabels::direct.label(p, method="last.points"),
  p + ggrepel::geom_text_repel(data = mod_output_labels, 
                               aes(x = spread, y = .fitted, color = country, 
                                   label = country), show.legend = F),
mod_output %>% 
  group_by(country) %>% 
  summarise(AUC = mean(auc), 'Elemszám' = n()) %>% 
  ungroup() %>% 
  pivot_longer(-1) %>% 
  filter(!(country %in% c('Összes európai megfigyelés', 'Összes megfigyelés') & 
             name == 'Elemszám')) %>% 
  ggplot() + 
  aes(x = value, y = country, fill = country) + 
  geom_vline(xintercept = 0) +
  geom_col(color = 'black', show.legend = F) +
  facet_wrap(~name, scales = 'free_x') + 
  scale_y_discrete(limits=rev) +
  scale_fill_viridis_d() +
  labs(x = NULL, y = NULL), ncol = 1
)
```

A 6. ábra alsó paneljéről olvashatók le az egyes országokhoz tartozó AUC értékek, melyek alapján azt mondhatjuk, hogy a vizsglt európai hozamgörbék többségében esetében is megfigyelhető a jó recesszió előrejelző képesség. A belga, svájci és brit adatokon futtatott modell az Egyesült Államok modelljénél is jobban teljesít ezen mérőszám alapján, illetve az összes európai megfigyelésen futtatott modell teljesítménye alig marad el az Egyesült Államokétól.


# Következtetések, összegzés

Tanulmányunkban egy probit modell segítségével először azt vizsgáltuk, hogy az Egyesült Államok esetében megfigyelt, 10 éves és 1 éves lejáratú állampapírhozamok különbségeként definiált hozamszpred négy negyedéves időtávon való előrejelzőképessége változott-e az elmúlt 25 éveben az 1995 előtti időszakhoz képest. Azt találtuk, hogy bár enyhén, de csökkent a hozamszpredek előrejelzési képessége a második időszakra. 

Ezután az Egyesült Államok adatait felhasználva kerestük meg a recesszióket leghatékonyabban előrejelző lejáratkombinációt. Az eredményeink alapján a 7 éves és 1 éves hozamok különbsége teljesít a legjobban az előrejelzésben. 

Mielőtt a modellt kiterjesztettük, megkerestük a GDP ciklikus komponensének azt a 0,46%-os küszöbértékét, ami alatt elmondható, hogy egy gazdaság recesszióban van. Az eddigi eredményeket felhasználva lefuttattuk a modellt különböző európai országok esetében is, és azt találtuk, hogy egyes országok modelljei az Egyesült Államokénál is hatékonyabban jelez előre. Ezek alapján elmondható, hogy a modell nem csak az Egyesült Államok adatain működik.

Az eredményeink alapján Nagy-Britannia, Svájc és Belgium esetében kiemelkedő a modell klasszifikációs képessége, míg Olaszország és Portugália esetében az AUC mutató viszonylag alacsony értéket vett fel, a többi vizsgált ország modellje pedig nagyjából azonos, 0.6-os érték küröli AUC mutatóval dicsekedhet. Ezeket az eredményeket összevetettük az IMF [2021] Financial Development indexével, mely az adott gazdaságok pénzpiaci fejlettségét hivatott mérni. Azt találtuk, hogy az eredményeink nagyrészt összhangban vannak azzal a feltételezéssel, hogy a fejlettebb pénzügypiacok esetében jobb a hozamszpredek recesszió előrjelző képessége, mivel ezen index alapján Sváj és Nagy-Britannia kiemelkedően teljesít, míg pl. az olaszok és a portugálok alacsonyabb indexet érdemeltek ki az évek során az IMF megítélése szerint. Belgium viszont a modellünk alapján jól teljesít, ennek ellenére viszonylag alacsony az FD indexe, ebből pedig arra következtethetünk, hogy a pénzpiaci fejlettségen túl egyéb tényezők is befolyásolják a hozamszpredek előrjelező képességét. 

További elemzések elvégzéséhez érdemes lenne a modellbe egyéb magyarázóváltozókat is bevonni, hogy teljesebb képet kapjunk arra vonatkozóan, hogyan alakultak a múltban a pénzügyi és reál mutatók a válságokat megelőzően. Egy ilyen kép hozzásegítheti a közgazdászokat ahhoz, hogy a jövőben időben észrevegyék, ha a gazdaság egy recesszió felé tart, és magabiztosan intervenáljanak a megfelelő eszközökkel. 

\pagebreak

\nocite{*}

```{=tex}
\bibliography{yieldcurve}
\bibliographystyle{agsm}
```
\pagebreak

# Függelék: R kódok

```{r ref.label=setdiff(knitr::all_labels(), c("setup")), eval=FALSE, echo=T, attr.source='.numberLines'}
```