-
Notifications
You must be signed in to change notification settings - Fork 0
/
Copy pathchapterstability.tex
308 lines (224 loc) · 11.3 KB
/
chapterstability.tex
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
\en{\chapter{Stability}}
\ru{\chapter{Устойчивость}}
\thispagestyle{empty}
\label{chapter:stability}
\begin{comment} %%%
\begin{changemargin}{\parindent}{\parindent}
\vspace{-2.5em}
{\noindent\small
\setlength{\parskip}{\spacebetweenparagraphs}
\inquotes{\en{indifferent equilibrium}\ru{безразличное равновесие}}
\en{or}\ru{или}
\inquotes{\en{neutral equilibrium}\ru{нейтральное равновесие}}
(\en{neither stability nor instability}\ru{ни устойчивость, ни неустойчивость},
a~disturbance introduced into such an~equilibrium will be neither amplified nor damped)
\par}
\vspace{-1.2em}
\end{changemargin}
\end{comment} %%%
\en{\section{Various approaches to the problem of stability}}
\ru{\section{Разные подходы к проблеме устойчивости}}
\label{section:approachestostability}
\en{\dropcap{T}{here’s}}\ru{\dropcap{Е}{сть}}
\en{the }\en{well developed}\ru{весьма р\'{а}звитая}
\href{https://en.wikipedia.org/wiki/Lyapunov_stability}{\en{theory of stability}\ru{теория устойчивости}}
\en{by}\ru{по}
\href{https://en.wikipedia.org/wiki/Aleksandr_Lyapunov}{\en{\russianlanguage{А.\,Ляпунов}~(Aleksandr Lyapunov)}\ru{Александру Ляпунову}}.
\en{It looks at}\ru{Она смотрит на}
\en{the~dynamics}\ru{динамику}
\en{of small deviations}\ru{малых отклонений}
\en{and says that}\ru{и~говорит, что}
\en{if}\ru{если}
\en{initial deviations}\ru{начальные отклонения}
(\en{for example}\ru{для примера},
\en{from the~equilibrium}\ru{от равновесия})
\en{were}\ru{были}
\inquotesx{\en{quite close~(small)}\ru{довольно близкие~(м\'{а}лые)}}[,]
\en{and }\ru{и~}\en{they}\ru{они}
\en{don’t rise}\ru{не~растут}
\en{any further}\ru{как-либо в~дальнейшем},
\en{remaining}\ru{оставаясь}
\inquotesx{\en{quite close}\ru{довольно близкими}}
\en{forever}\ru{навсегда},
\en{then}\ru{то}
\en{the~process is stable}\ru{процесс устойчив}.
\en{This is}\ru{Так\'{о}в}
\en{the~}\textbold{\en{dynamic approach}\ru{динамический подход}}
\en{to the~problem of~stability}\ru{к~проблеме устойчивости},
\en{and this approach is}\ru{и~этот подход}
\en{the~most reasonable}\ru{самый обоснованный}.
\en{However}\ru{Однако},
\en{for problems}\ru{для~задач}
\en{about}\ru{об}
\en{the~stability of the~equilibrium}\ru{устойчивости равновесия}\en{,}
%\en{of~elastic systems}\ru{упругих систем}\en{,}
\ru{нашёл больш\'{у}ю популярность }\en{the~other}\ru{другой}
\en{approach}\ru{подход}\en{ has found much popularity}.
%
\en{It is called}\ru{Он называется}
\en{the~}\textbold{\en{static}\ru{статическим}
\en{approach}\ru{подходом}},
\en{and }\ru{и~}\en{is }\href{https://en.wikipedia.org/wiki/Euler%27s_critical_load}{\en{widely known}\ru{широк\'{о} известен}}
\en{under}\ru{под}
\ru{именем }\en{the~}\href{https://en.wikipedia.org/wiki/Leonhard_Euler}{Leonhard}\ru{’а}
\href{https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_things_named_after_Leonhard_Euler}{Euler}’\en{s}\ru{а}\en{ name}.
%
\en{When}\ru{Когда}
\en{the~equations of~statics}\ru{уравнения статики}
\en{give}\ru{дают}
\en{a~nontrivial solution}\ru{нетривиальное решение}
\en{for small}\ru{для м\'{а}лых}
\en{disturbances-displacements}\ru{возмущений-смещений},
\en{then}\ru{тогда}
\en{the~values of~parameters}\ru{значения параметров}
\en{are assumed to be}\ru{предполагаются}
\inquotesx{\en{critical}\ru{критическими}}[.]
%
\en{In~other words}\ru{Другими словами},
\en{if}\ru{если}
\en{there’s}\ru{есть}
\en{a~non\hbox{-}isolated equilibrium}\ru{не изолированное равновесие}\footnote{% begins
\inquotes{\en{Non\hbox{-}isolated}\ru{не изолированное}}
\en{means that}\ru{значит, что}
\en{at the~same}\ru{в~одно и~то~же}
\en{time}\ru{время}
\en{there appear}\ru{появляется}
\en{many}\ru{много}
\en{possible}\ru{возможных}
\en{adjacent forms}\ru{смежных форм}
\en{of the~same one}\ru{одного и~того~же}
\en{equilibrium}\ru{равновесия}.}\hbox{\hspace{-0.5ex},} % \footnote ends
\en{then}\ru{то}
\en{it’s considered}\ru{оно считается}
\inquotesx{\en{critical}\ru{критическим}}[.]
%
\en{With this approach}\ru{С~этим подходом}
\en{it’s enough}\ru{достаточно}
\en{to~solve}\ru{решить}
\en{the~eigenvalue problem}\ru{проблему собственных чисел}.
\en{More approaches exist as well}\ru{Существуют и~другие подходы}.
%
\en{One of them}\ru{Один из них}\en{ is}\ru{\:---}
\en{the~}\textbold{\en{method of~imperfections}\ru{метод несовершенств}}\::
\en{if}\ru{если}
\en{small random changes}\ru{м\'{а}лые случайные изменения}
\en{of the initial shape}\ru{начального \'{о}блика},
\en{the stiffnesses}\ru{жёсткостей},
\en{the loads}\ru{нагрузок}
\en{and other}\ru{и~других}
\en{variables}\ru{переменных}
\en{cause only a~small change}\ru{вызывают лишь м\'{а}лое изменение}
\en{of a~deformed configuration}\ru{деформированной конфигурации},
\en{then}\ru{то}
\en{this equilibrium}\ru{это равновесие}
\en{is stable}\ru{устойчиво}.
%
\en{Or}\ru{Или}
\en{the~}\textbold{\en{energy approach}\ru{энергетический подход}}\::
\en{when}\ru{когда}
\en{a~loss of stability}\ru{потеря устойчивости}
\en{becomes}\ru{становится}
\en{energetically beneficial}\ru{энергетически выгодной},
\en{that is}\ru{то~есть}
\en{when}\ru{когда}
\en{it leads}\ru{она ведёт}
\en{to a~decrease}\ru{к~уменьшению}
\en{in energy}\ru{энергии},
\en{then}\ru{тогда}
\en{such a~stability loss}\ru{такая потеря устойчивости}
\en{really happens}\ru{действительно случается}.
\en{The mentioned approaches}\ru{Упомянутые подходы}
\en{draw}\ru{рисуют}
\en{a~motley picture}\ru{пёструю картину}.
%
\en{Yet}\ru{Но}
\en{it is pretty easy}\ru{её довольно просто}
\en{to~visualize}\ru{визуализировать}
\en{for}\ru{для}
\en{a~model}\ru{модели}
\en{with a~finite number}\ru{с~конечным числом}
\en{of~degrees o’freedom}\ru{степеней свободы}.
\en{Pretty}\ru{Весьма}
\en{abstract}\ru{абстрактны}
\en{and }\ru{и~}\en{universal}\ru{универсальны}\en{,}
\en{the~}\ru{уравнения }Lagrange’\en{s}\ru{а}\en{ equations}
\nopagebreak
\begin{equation}
A_{\hspace{-0.1ex}jk} \hspace{.2ex} \mathdotdotabove{q}_k \hspace{-0.1ex} = Q_{\hspace{-0.1ex}j} \bigl( q_k, p \bigr)
\hspace{.1ex} .
\end{equation}
\noindent
\en{Here}\ru{Тут}
$q_k$\:--- \en{generalized coordinates}\ru{обобщённые координаты},
$Q_{\hspace{-0.1ex}j}$\:--- \en{generalized forces}\ru{обобщённые силы},
......
...
...........
\en{\section{Classical problems with rods}}
\ru{\section{Классические проблемы со стержнями}}
\label{section:rodsclassicalstability}
\begin{otherlanguage}{russian}
Состояние перед варьированием описывается уравнениями нелинейной теории стержней Kirchhoff’а
...
\end{otherlanguage}
\en{\section{\inquotes{Tracking} loads}}
\ru{\section{\inquotes{Следящие} нагрузки}}
\label{section:trackingloads}
%% “dead” loads and “tracking” loads
\begin{otherlanguage}{russian}
В~проблемах устойчивости весьма вес\'{о}мо поведение нагрузки в~процессе деформирования.
Ведь в~уравнения входит вариация \textcolor{red}{(of what?)}~${\variation{\bm{q}}}$, она равна нулю лишь для \inquotes{\en{dead}\ru{мёртвых}} \en{loads}\ru{нагрузок}.
\textcolor{magenta}{Распространены}
\en{the }\inquotes{\en{tracking}\ru{следящие}}
\en{loads}\ru{нагрузки},
\en{which}\ru{которые}
\en{change}\ru{меняются}
\en{in a~certain way}\ru{определённым путём}
\en{along}\ru{вместе}
\en{with the deviations}\ru{с~отклонениями}
(\en{displacements}\ru{смещениями})
\en{of particles}\ru{частиц}.
\en{The}\ru{Статический подход} Euler’\ru{а}\en{s}\en{ static approach}
\en{to the~problem}\ru{к~проблеме}
\en{of~stability}\ru{устойчивости}
...
\end{otherlanguage}
\en{\section{The role of additional pliabilities}}
\ru{\section{Роль добавочных податливостей}}
\label{section:additionalpliabilities}
\begin{otherlanguage}{russian}
Для прямого \textcolor{magenta}{консольного} стержня, сжатого постоянной силой~$\bm{F}$ на~свободном конце, критическая нагрузка определяется формулой Euler’а
...
\end{otherlanguage}
\en{\section{Variational formulations}}
\ru{\section{Вариационные формулировки}}
\label{section:variationalformulationsforstability}
\begin{otherlanguage}{russian}
Во~всех разделах линейной теории упругости больш\'{у}ю роль играют вариационные постановки.
Среди прочего, они составляют основу метода конечных элементов как варианта метода Ritz’а.
Менее развиты вариационные постановки для проблем устойчивости.
Здесь получил популярность метод
...
\end{otherlanguage}
\en{\section{Nonconservative problems}}
\ru{\section{Неконсервативные задачи}}
\label{section:nonconservativeproblemsofstability}
\begin{otherlanguage}{russian}
В~уравнении динамики (...) матрица позиционных сил
...
\end{otherlanguage}
\en{\section{Case of multiple roots}}
\ru{\section{Случай кратных корней}}
\label{section:caseofmultipleroots}
\begin{otherlanguage}{russian}
Вернёмся к~проблеме устойчивости (...) в~случае циркуляционных сил.
Как уже отмечалось\textcolor{red}{(где??)}, критическая ситуация характеризуется
...
\end{otherlanguage}
\section*{\small \wordforbibliography}
\begin{changemargin}{\parindent}{0pt}
\fontsize{10}{12}\selectfont
\begin{otherlanguage}{russian}
Увлекательные вопросы устойчивости упругих систем освещены в~книгах ...
\end{otherlanguage}
\end{changemargin}